3, Chứng minh các đẳng thức hình học:

Bài toán 1: Giả sử [You must be registered and logged in to see this image.] là các điểm nằm trong [You must be registered and logged in to see this image.]sao cho [You must be registered and logged in to see this image.]. Chứng minh rằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Hình minh họa: (hinh 9)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:

Lấy điểm K trên đường thẳng BN sao cho [You must be registered and logged in to see this image.], lúc đó [You must be registered and logged in to see this image.]suy ra:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Mặt khác dễ thấy rằng [You must be registered and logged in to see this image.], từ đó [You must be registered and logged in to see this image.] dẫn đến [You must be registered and logged in to see this image.].
Cũng từ [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.].
suy ra tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.] nội tiếp đường tròn.
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Nhưng từ [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.] thì :
[You must be registered and logged in to see this image.]
Nên ta có đẳng thức (3)
[You must be registered and logged in to see this image.]

Đây là 1 trong những bài toán khá là cổ điển của IMO Shortlist. Ta vẫn có thể giải quyết bài toán theo một hướng khác nhưng dài và phức tạp hơn đó là sử dụng bổ đề: Nếu M,N là các điểm thuộc cạnh BC của [You must be registered and logged in to see this image.]sao cho [You must be registered and logged in to see this image.] thì [You must be registered and logged in to see this image.]. Đây là một bổ đề mà các bạn cũng nên ghi nhớ.

Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng: [You must be registered and logged in to see this image.]

Hình minh họa:(hinh 10)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:
Lấy E và F thuộc đường tròn sao cho:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Khi đó: [You must be registered and logged in to see this image.]
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp AECD và BCDF ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Mặt khác:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Do đó:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Suy ra: [You must be registered and logged in to see this image.]
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 3: Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Hình minh hoạ (hình 11)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:
Đặt[You must be registered and logged in to see this image.]
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]Từ (1) và (2) ta được:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Mặt khác ta lại có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Tương tự :
[You must be registered and logged in to see this image.]
Từ (4), (5) và tính chất đường phân giác ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Chứng minh tương tự ta được:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Từ (3), (6), (7) ta có điều phải chứng minh.

Có thể dễ dàng nhận ra nét tương đồng giữa cách giải của 3 bài toán đó là vận dụng cách vẻ hình phụ tạo ra các cặp góc bằng các cặp góc cho sẵn từ đó tìm ra các biểu diễn liên quan. Một đường lối rất hay được sử dụng trong các bài toán dạng này.

4, Chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị trong hình học:

Bài toán 1: (Thi HSG các vùng của Mĩ, năm 1987)
Cho một tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng [You must be registered and logged in to see this image.] và các đường chéo bằng [You must be registered and logged in to see this image.] Chứng minh rằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Chứng minh:
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp thì [You must be registered and logged in to see this image.]
Vậy ta cần chứng minh [You must be registered and logged in to see this image.]
Bất đẳng thức này chính là một bất đẳng thức rất quen thuộc mà có lẽ ai cũng biết đó là bất đẳng thức Bunhiacopxki-BCS. Vậy bài toán được chứng minh.

Một lời giải đẹp và vô cùng gọn nhẹ cho 1 bài toán tưởng chừng như là khó. Ý tưởng ở đây là đưa bất đẳng thức cần chứng minh về 1 dạng đơn giản hơn và thuần đại số hơn. Thật thú vị là bất đẳng thức đó lại là BCS.

Bài toán 2:
Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện [You must be registered and logged in to see this image.]
Chứng minh rằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

HÌNH MINH HỌA (hinh 12)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:
Đặt [You must be registered and logged in to see this image.] Áp dụng định lí Ptô-lê-mê mở rộng cho tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.] ta có: [You must be registered and logged in to see this image.]. Vì [You must be registered and logged in to see this image.] nên suy ra:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Tương tự ta cũng có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Từ đó suy ra

Bất đẳng thức đã qui về dạng chính tắc SOS :
[You must be registered and logged in to see this image.]
Dễ thấy:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Như vậy [You must be registered and logged in to see this image.], đánh giá tương tự ta cũng dễ dàng thu được kết quả [You must be registered and logged in to see this image.].
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi[You must be registered and logged in to see this image.].
Tức là khi ABCDEF là một lục giác đều nội tiếp.

Đây là một bài toán do zaizai phát triển từ một bài toán quen thuộc. Nó cũng xuất phát từ bài Stronger than Nesbit inequality của mình. [You must be registered and logged in to see this image.]
Cơ sở khi giải bài toán này là sử dụng phương pháp SOS để làm mạnh bài toán.
Với bước chuyển từ việc chứng minh 1 bất đẳng thức hình học sang bất đẳng thức đại số ta dễ dàng tìm ra 1 lời giải đẹp. Nếu chuẩn hóa bất đẳng thứ này ta cũng có kết quả rất thú vị.

Bài toán 3:
Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện [You must be registered and logged in to see this image.] và tổng độ dài ba cạnh [You must be registered and logged in to see this image.]bằng [You must be registered and logged in to see this image.]
Chứng minh rằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Lời giải:
Ta chuyển việc chứng minh bất đẳng thức trên về chứng minh bất đẳng thức sau:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Bằng cách sử dụng phương pháp hệ số bất định ta dễ dàng tìm được bất đẳng thức phụ đúng:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Tương tự với các phân thức còn lại ta có điều phải chứng minh.

Khi định hướng giải bài này chắc hẳn bạn sẽ liên tưởng ngay đến SOS nhưng thật sự thì nó ko cần thiết trong bài toán này bởi chỉ làm phức hóa bài toán. Dùng phương pháp hệ số bất định giúp ta tìm ra 1 lời giải ngắn và rất đẹp. Tuy nhiên lời giải này ko dễ hiểu lắm đối với THCS. [You must be registered and logged in to see this image.]

Thực ra cách làm mới bài toán này cũng cực kì đơn giản vì xuất phát điểm của dạng chuẩn là bất đẳng thức Nesbit quen thuộc vì vậy dễ dàng thay đổi giả thiết để biến đổi bài toán. Mà cách thay đổi điều kiện ở đây chính là bước chuẩn hóa trong chứng minh bất đẳng thức đại số. Nói chung là dùng để đồng bậc bất đẳng thức thuần nhất. Với tư tưởng như vậy ta hoàn toàn có thể xây dựng các kết quả mạnh hơn và thú vị hơn qua một vài phương pháp như SOS, hệ số bất định, dồn biến và chuẩn hóa. Đặc biệt sau khi chuẩn hóa ta có thể dùng 3 phương pháp còn lại để chứng minh.

Bài toán 4::
Cho đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.] là một dây cung khác đường kính của đường tròn. Tìm điểm [You must be registered and logged in to see this image.] thuộc cung lớn [You must be registered and logged in to see this image.] sao cho [You must be registered and logged in to see this image.]lớn nhất.

Lời giải:
Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC.
Đặt [You must be registered and logged in to see this image.] không đổi. Theo định lí Ptô-lê-mê ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Do [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.] ko đổi nên [You must be registered and logged in to see this image.]lớn nhất khi và chỉ khi [You must be registered and logged in to see this image.]lớn nhất khi và chỉ khi[You must be registered and logged in to see this image.] là điểm đối xứng của [You must be registered and logged in to see this image.] qua tâm [You must be registered and logged in to see this image.] của đường tròn.

IV, Bài tập:
Bài 1:(CMO 1988, Trung Quốc)
[You must be registered and logged in to see this image.] là một tứ giác nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp có tâm ) và bán kính [You must be registered and logged in to see this image.]. Các tia [You must be registered and logged in to see this image.] cắt [You must be registered and logged in to see this image.] lần lượt tại [You must be registered and logged in to see this image.]. Chứng minh rằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Bài 2:
Cho đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.] và dây cung [You must be registered and logged in to see this image.] khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn [You must be registered and logged in to see this image.] của đường tròn để [You must be registered and logged in to see this image.] đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.]. Đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.] nằm trong (O) tiếp xúc với (O) tại T thuộc cung AC (ko chứa B). Kẻ các tiếp tuyến [You must be registered and logged in to see this image.]tới [You must be registered and logged in to see this image.]. Chứng minh rằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Bài 4:
Cho lục giác [You must be registered and logged in to see this image.] có các cạnh có độ dài nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong ba đường chéo[You must be registered and logged in to see this image.]có ít nhất một đường chéo có độ dài nhỏ hơn [You must be registered and logged in to see this image.].
Bài 5:
Cho hai đường tròn đồng tâm, bán kính của đường tròn này gấp đôi bán kính của đường tròn kia. [You must be registered and logged in to see this image.] là tứ giá nội tiếp đường tròn nhỏ. Các tia [You must be registered and logged in to see this image.]lần lượt cắt đường tròn lớn tại [You must be registered and logged in to see this image.].
Chứng minh rằng: chu vi tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.] lớn hơn 2 lần chu vi tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.].

Nguồn: VMF