I. Mở đầu:
Hình học là một trong những lĩnh vực toán học mang lại cho người yêu toán nhiều điều thú vị nhất và khó khăn nhất. Nó đòi hỏi ta phải có những suy nghĩ sáng tạo và tinh tế. Trong lĩnh vực này cũng xuất hiện ko ít những định lí, phương pháp nhằm nâng cao tính hiệu quả trong quá trình giải quyết các bài toán, giúp ta chinh phục những đỉnh núi ngồ ghề và hiểm trở . Trong bài viết này zaizai xin giới thiệu đến các bạn một vài điều cơ bản nhất về định lí Ptô-lê-mê trong việc chứng minh các đặc tính của hình học phẳng. Dù đã rất cố gắng nhưng bài viết sẽ không thể tránh khỏi những thiếu xót mong rằng các bạn sẽ cùng zaizai bổ sung và phát triển nó.

II, Nội dung - Lí thuyết:
1. Đẳng thức Ptô-lê-mê:
Cho tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.] nội tiếp đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.]. Khi đó:

[You must be registered and logged in to see this image.]

Hình minh họa (hình 1)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:
Lấy [You must be registered and logged in to see this image.] thuộc đường chéo [You must be registered and logged in to see this image.] sao cho [You must be registered and logged in to see this image.]
Khi đó xét [You must be registered and logged in to see this image.]và [You must be registered and logged in to see this image.]có: [You must be registered and logged in to see this image.]
Nên [You must be registered and logged in to see this image.]đồng dạng với [You must be registered and logged in to see this image.]
Do đó ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]. Lại có: [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.] nên [You must be registered and logged in to see this image.]Suy ra [You must be registered and logged in to see this image.] hay [You must be registered and logged in to see this image.]
Từ [You must be registered and logged in to see this image.]và [You must be registered and logged in to see this image.] suy ra:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Vậy đẳng thức Ptô-lê-mê được chứng minh.

2, Bất đẳng thức Ptô-lê-mê:
Đây có thể coi là định lí Ptô-mê-lê mở rộng bởi vì nó không giới hạn trong lớp tứ giác nội tiếp .

Định lí: Cho tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.]. Khi đó:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Hình minh họa (hình 2)
[You must be registered and logged in to see this link.]
Chứng minh:
Trong [You must be registered and logged in to see this image.] lấy điểm M sao cho:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Dễ dàng chứng minh: [You must be registered and logged in to see this image.]
Cũng từ kết luận trên suy ra:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác và các điều trên ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Vậy định lí Ptô-lê-mê mở rộng đã được chứng minh.

3, Định lí Ptô-lê-mê tổng quát:
Trong mặt phẳng định hướng cho đa giác [You must be registered and logged in to see this image.]nội tiếp đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.]. M là một điểm thuộc cung [You must be registered and logged in to see this image.] (Không chứa [You must be registered and logged in to see this image.])
Khi đó:
[img][You must be registered and logged in to see this link.]
Trong đó:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Đây là một định lí ko dễ dàng chứng minh được bằng kiến thức hình học THCS. Các bạn có thể tham khảo phép chứng minh trong bài viết Định lí Ptô-lê-mê tổng quát của Tiến sĩ Nguyễn Minh Hà, ĐHSP , Hà Nội thuộc Tuyển tập 5 năm Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
III, Ứng dụng của định lí Ptô-lê-mê trong việc chứng minh các đặc tính hình học:

1, Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng hình học:
Mở đầu cho phần này chúng ta sẽ đến với 1 ví dụ điển hình và cơ bản về việc ứng dụng định lí Ptô-lê-mê.
Bài toán 1: Cho tam giác đều [You must be registered and logged in to see this image.] có các cạnh bằng [You must be registered and logged in to see this image.]Trên [You must be registered and logged in to see this image.] lấy điểm[You must be registered and logged in to see this image.] di động, trên tia đối của tia [You must be registered and logged in to see this image.] lấy điểm [You must be registered and logged in to see this image.] di động sao cho [You must be registered and logged in to see this image.]. Gọi [You must be registered and logged in to see this image.] là giao điểm của [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.]. Chứng minh rằng: [You must be registered and logged in to see this image.]
( Đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quí Đôn, thị xã Đông Hà, tỉnh Quảng Trị, năm học 2005-2006)

Hình minh họa (hình 3)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:
Từ giả thiết [You must be registered and logged in to see this image.]suy ra [You must be registered and logged in to see this image.]
Xét [You must be registered and logged in to see this image.]và [You must be registered and logged in to see this image.]có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Lại có [You must be registered and logged in to see this image.]
Từ:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Suy ra tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.] nội tiếp được đường tròn.
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.] nội tiếp và giả thiết [You must be registered and logged in to see this image.]ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.] (đpcm)

Đây là 1 bài toán khá dễ và tất nhiên cách giải này ko được đơn giản lắm.Vì nếu muốn sử dụng đẳng thức Ptô-lê-mê trong 1 kì thi thì có lẽ phải chứng minh nó dưới dạng bổ đề. Nhưng điều chú ý ở đây là ta chẳng cần phải suy nghĩ nhiều khi dùng cách trên trong khi đó nếu dùng cách khác thì lời giải có khi lại ko mang vẻ tường minh.

Bài toán 2: Tam giác [You must be registered and logged in to see this image.] vuông có [You must be registered and logged in to see this image.]. Gọi [You must be registered and logged in to see this image.] là một điểm trên cạnh [You must be registered and logged in to see this image.] là một điểm trên cạnh [You must be registered and logged in to see this image.]kéo dài về phía điểm [You must be registered and logged in to see this image.] sao cho [You must be registered and logged in to see this image.]. Gọi [You must be registered and logged in to see this image.] là một điểm trên cạnh [You must be registered and logged in to see this image.] sao cho [You must be registered and logged in to see this image.] nằm trên một đường tròn. [You must be registered and logged in to see this image.] là giao điểm thứ hai của [You must be registered and logged in to see this image.] với đường tròn ngoại tiếp [You must be registered and logged in to see this image.]. Chứng minh rằng: [You must be registered and logged in to see this image.]
(Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000, HongKong TST 2000)

Hình minh họa:(hinh 4)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:
Xét các tứ giác nội tiếp [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
(cùng chắn các cung tròn)
Mặt khác [You must be registered and logged in to see this image.]
Xét [You must be registered and logged in to see this image.]và [You must be registered and logged in to see this image.]có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
(do [You must be registered and logged in to see this image.])
[You must be registered and logged in to see this image.]
(do [You must be registered and logged in to see this image.])
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Từ [You must be registered and logged in to see this image.] suy ra:
[You must be registered and logged in to see this image.](đpcm)

Có thể thấy rằng bài 1 là tư tưởng đơn giản để ta xây dựng cách giải của bài 2. Tức là dựa vào các đại lượng trong tam giác bằng nhau theo giả thiết ta sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra các tỉ số liên quan và sử dụng phép thế để suy ra điều phải chứng minh. Cách làm này tỏ ra khá là hiệu quả và minh họa rõ ràng qua 2 ví dụ mà zaizai đã nêu ở trên. Để làm rõ hơn phương pháp chúng ta sẽ cùng nhau đến với việc chứng minh 1 định lí bằng chính Ptô-lê-mê.

Bài toán 3: ( Định lí Carnot)
Cho tam giác nhọn [You must be registered and logged in to see this image.] nội tiếp trong đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.] và ngoại tiếp đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.]Gọi [You must be registered and logged in to see this image.] lần lượt là khoảng cách từ [You must be registered and logged in to see this image.] tới các cạnh tam giác. Chứng minh rằng: [You must be registered and logged in to see this image.]

Hình minh họa (hinh 5)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:
Gọi [You must be registered and logged in to see this image.] lần lượt là trung điểm của [You must be registered and logged in to see this image.]. Giả sử [You must be registered and logged in to see this image.]
Tứ giác [You must be registered and logged in to see this image.] nội tiếp, theo đẳng thức Ptô-lê-mê ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Do đó: [You must be registered and logged in to see this image.]
Tương tự ta cũng có :
[You must be registered and logged in to see this image.]
Mặt khác:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Từ [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Đây là 1 định lí khá là quen thuộc và cách chứng minh khá đơn giản. Ứng dụng của định lí này như đã nói là dùng nhiều trong tính toán các đại lượng trong tam giác. Đối với trường hợp tam giác đó không nhọn thì cách phát biểu của định lí cũng có sư thay đổi.

2, Chứng minh các đặc tính hình học:

Bài toán 1: Cho tam giác [You must be registered and logged in to see this image.] nội tiếp trong đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.]. Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn [You must be registered and logged in to see this image.]tại [You must be registered and logged in to see this image.] cắt nhau ở [You must be registered and logged in to see this image.]. Chứng minh rằng [You must be registered and logged in to see this image.] đi qua điểm chính giữa của cung [You must be registered and logged in to see this image.]

Hình minh họa(hinh 6)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Chứng minh:
Gọi giao điểm của [You must be registered and logged in to see this image.] với đường tròn là [You must be registered and logged in to see this image.]. Nối [You must be registered and logged in to see this image.].
Xét [You must be registered and logged in to see this image.]và [You must be registered and logged in to see this image.]có: [You must be registered and logged in to see this image.] chung
[You must be registered and logged in to see this image.]
Tương tự ta cũng có [You must be registered and logged in to see this image.]
Mặt khác [You must be registered and logged in to see this image.]( do là 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)
Nên từ [You must be registered and logged in to see this image.]
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Từ [You must be registered and logged in to see this image.].
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đây có lẽ là một trong những lời giải khá là ngắn và ấn tượng của bài này.Chỉ cần qua vài quá trình tìm kiếm các cặp tam giác đồng dạng ta đã dễ dàng đi đến kết luận của bài toán. Tư tưởng ban đầu khi làm bài toán này chính là dựa vào lí thuyết trong cùng một đường tròn hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. Do có liên quan đến các đại lượng trong tứ giác nội tiếp nên việc chứng minh rất dễ dàng.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm G. Giả sử rằng [You must be registered and logged in to see this image.]. Chứng minh rằng [You must be registered and logged in to see this image.] song song với [You must be registered and logged in to see this image.].

Hình minh họa (hinh 7)
[You must be registered and logged in to see this link.]

Kéo dài [You must be registered and logged in to see this image.] cắt [You must be registered and logged in to see this image.] tại [You must be registered and logged in to see this image.]. Khi đó [You must be registered and logged in to see this image.] là điểm chính giữa cung [You must be registered and logged in to see this image.] (không chứa [You must be registered and logged in to see this image.]).
Ta có: [You must be registered and logged in to see this image.]. Lại có :
[You must be registered and logged in to see this image.]
Do [You must be registered and logged in to see this image.] suy ra [You must be registered and logged in to see this image.] sđ cung [You must be registered and logged in to see this image.]
Từ [You must be registered and logged in to see this image.]
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Từ [You must be registered and logged in to see this image.]
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác và (5) ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Vậy [You must be registered and logged in to see this image.]
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác suy ra [You must be registered and logged in to see this image.]
Từ [You must be registered and logged in to see this image.]
Suy ra IG là đường trung bình của tam giác [You must be registered and logged in to see this image.] hay [You must be registered and logged in to see this image.] song song với [You must be registered and logged in to see this image.].

Đây là một bài toán khá là hay ít nhất là đối với THCS và với cách làm có vẻ "ngắn gọn" này ta đã phần nào hình dung được vẻ đẹp của các định lí.

Bài toán 3:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), CM là trung tuyến. Các tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau ở D. Chứng minh rằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Hình minh họa:(hinh
[You must be registered and logged in to see this link.]
Chứng minh:
Gọi N là giao điểm của CD với (O). Xét tam giác DNB và DBC có:
[You must be registered and logged in to see this image.] chung.
[You must be registered and logged in to see this image.]
Tương tự ta cũng có :
[You must be registered and logged in to see this image.]
Mà [You must be registered and logged in to see this image.]nên từ [You must be registered and logged in to see this image.]
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp [You must be registered and logged in to see this image.] ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Từ (3) và giả thiết
[You must be registered and logged in to see this image.]
Xét [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.] có:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Vậy bài toán được chứng minh.

Cơ sở để ta giải quyết các bài toán dạng này là tạo ra các tứ giác nội tiếp để áp dụng định lí sau đó sử dụng lí thuyết đồng dạng để tìm ra mối quan hệ giữa các đại lượng. Đây là một lối suy biến ngược trong hình học.

Nguồn: diendantoanhoc.net

Định lý này cũng khá hay nhưng khi áp dụng vào bài tập thỳ ýt khi ng ta nghĩ đến

may ra chỉ cóa mỗi a minh là áp dụng đk.
t chịu [You must be registered and logged in to see this image.]

=)) Hay mà.